第6题

设

a,b,c

为三角形的边长。证明

a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0

,并确定等号成立的条件。

第 5/5 步：等号情形

\frac{y\sqrt{xyz}}{z}=\frac{z\sqrt{xyz}}{x}=\frac{x\sqrt{xyz}}{y}\Longleftrightarrow x=y=z\Longleftrightarrow a=b=c

详细分析

Cauchy–Schwarz 的等号条件是 $u_1/v_1=u_2/v_2=u_3/v_3$ ,即 $y/z=z/x=x/y$ 。因 $x,y,z>0$ ,这等价于 $x=y=z$ ,从而 $a=b=c$ 。反之等边三角形使每个差都为零,所以等号恰在等边三角形时成立。