国际数学奥林匹克 · 1984年

试题

第1题设 $x,y,z$ 为非负实数且满足 $x+y+z=1$ 。证明 $0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}$ 。解法: 1
第2题求一对正整数 $a,b$ ，使得 $ab(a+b)$ 不被 $7$ 整除，但 $(a+b)^7-a^7-b^7$ 能被 $7^7$ 整除。解法: 1
第3题给定平面上的两点 $O$ 和 $A$ ，平面上每一点都被涂成有限种颜色之一。对点 $X$ ，令 $C(X)$ 为圆心 $O$ 、半径 $OX+\frac{\angle AOX}{OX}$ 的圆，其中 $\angle AOX$ 用弧度在 $\left[0,2\pi\right)$ 中表示。证明存在一个不在 $OA$ 上的点 $X$ ，使得 $X$ 的颜色也出现在圆 $C(X)$ 的圆周上。解法: 1
第4题设 ABCD 是凸四边形，CD 与直径为 AB 的圆相切。证明 AB 与直径为 CD 的圆相切，当且仅当 $BC\parallel AD$ 。解法: 1
第5题设平面凸 n 边形（n>3）的所有对角线长度之和为 d，周长为 p。证明 $n-3<\frac{2d}{p}<\left\lfloor\frac n2\right\rfloor\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor-2$ 。解法: 1
第6题设 a,b,c,d 为奇整数，满足 $0<a<b<c<d$ 且 $ad=bc$ 。证明若 $a+d=2^k$ 、 $b+c=2^m$ ，则 $a=1$ 。解法: 1