MathLabs

第1题

设 x,y,zx,y,z 为非负实数且满足 x+y+z=1x+y+z=1。证明 0≤xy+yz+zx−2xyz≤7270\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}。
第 1/4 步:证明下界
通俗地说

变量和为 11,所以每个变量不超过 1;被减去的项不会超过两个变量乘积之和。

xy+yz+zx−2xyz=xy+z(x+y−2xy)xy+yz+zx-2xyz=xy+z(x+y-2xy)
详细分析

两项都非负:第一项显然非负,而第二个因子可写成 x(1−y)+y(1−x)x(1-y)+y(1-x),因为三个变量都在 [0,1][0,1] 中。