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第1题

设 x,y,zx,y,z 为非负实数且满足 x+y+z=1x+y+z=1。证明 0≤xy+yz+zx−2xyz≤7270\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}。
第 2/4 步：化为两个参数
上一步下一步
通俗地说

固定两个变量的和时，它们的乘积在两者相等时最大；因此三元问题可以化为一个变量的边界检验。

s=x+y,p=xy,f=s−s2+p(2s−1),0≤p≤s2/4s=x+y,\quad p=xy,\quad f=s-s^2+p(2s-1),\quad 0\le p\le s^2/4
详细分析

代入 z=1−sz=1-s 后，原式为 f=s−s2+p(2s−1)f=s-s^2+p(2s-1)。固定 ss，由均值不等式有 p=xyp=xy 且 0≤p≤s2/40\le p\le s^2/4。