第1题

设

x,y,z

为非负实数且满足

x+y+z=1

。证明

0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}

。

第 3/4 步：处理两种符号

通俗地说

区间上的线性函数在端点取得最大值；系数的符号决定应选哪一个端点。

s\le\frac12:\ f\le s(1-s)\le\frac14<\frac7{27};\qquad s\ge\frac12:\ f\le g(s)=\frac12s^3-\frac54s^2+s

相关区间上三次式与上界的差。

详细分析

当 $s\le1/2$ 时， $p$ 的系数非正，最大值在 $p=0$ 时取得。当 $s\ge1/2$ 时，系数非负，最大值在 $p=s^2/4$ 时取得，从而得到上式三次式 $g$ 。