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第1题

设 x,y,zx,y,z 为非负实数且满足 x+y+z=1x+y+z=1。证明 0≤xy+yz+zx−2xyz≤7270\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}。
第 4/4 步：因式分解最后的三次式
上一步下一步
通俗地说

平方因子标记了平衡点：只有三个变量相等时才能达到上界。

727−g(s)=−(3s−2)2(6s−7)108≥0(12≤s≤1)\frac7{27}-g(s)=-\frac{(3s-2)^2(6s-7)}{108}\ge0\quad(\tfrac12\le s\le1)
详细分析

在 [1/2,1][1/2,1] 上平方项非负且 6s−7<06s-7<0，所以因式分解后的式子非负。等号在 s=2/3s=2/3 且 p=s2/4p=s^2/4 时成立，即 x=y=z=1/3x=y=z=1/3。