第3题

给定平面上的两点

O

和

A

，平面上每一点都被涂成有限种颜色之一。对点

X

，令

C(X)

为圆心

O

、半径

OX+\frac{\angle AOX}{OX}

的圆，其中

\angle AOX

用弧度在

\left[0,2\pi\right)

中表示。证明存在一个不在

OA

上的点

X

，使得

X

的颜色也出现在圆

C(X)

的圆周上。

第 2/6 步：用角度编码后面的圆

上一步下一步

通俗地说

角度偏移被选为当前半径乘以半径增量，恰好编码所需的差距。

\theta_{i,j}=r_i(r_{i+j}-r_i),\quad 0<\theta_{i,j}<2\pi

详细分析

在 $\mathcal C_i$ 上取点 $x_{i,j}$ ，使其相对 $OA$ 的角为 $\theta_{i,j}$ 。总和的估计保证 $\theta_{i,j}<2\pi$ ，由半径定义便有 $C(x_{i,j})=\mathcal C_{i+j}$ 。