MathLabs

第3题

给定平面上的两点 OO 和 AA，平面上每一点都被涂成有限种颜色之一。对点 XX，令 C(X)C(X) 为圆心 OO、半径 OX+∠AOXOXOX+\frac{\angle AOX}{OX} 的圆，其中 ∠AOX\angle AOX 用弧度在 [0,2π)\left[0,2\pi\right) 中表示。证明存在一个不在 OAOA 上的点 XX，使得 XX 的颜色也出现在圆 C(X)C(X) 的圆周上。
第 3/6 步：构造点矩阵
上一步下一步
通俗地说

矩阵只是记账工具：向下移动一行、向右移动一列时，总是选取下标增加为两者之和的更外层圆。

M=(xi,j)i,j≥1,xi,j∈Ci,C(xi,j)=Ci+jM=(x_{i,j})_{i,j\ge1},\quad x_{i,j}\in\mathcal C_i,\quad C(x_{i,j})=\mathcal C_{i+j}
详细分析

把这些点排成无限矩阵，第 ii 行由 Ci\mathcal C_i 上的点组成。第 ii 行第 jj 列的点对应下标为 i+ji+j 的圆。