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第3题

给定平面上的两点 OO 和 AA，平面上每一点都被涂成有限种颜色之一。对点 XX，令 C(X)C(X) 为圆心 OO、半径 OX+∠AOXOXOX+\frac{\angle AOX}{OX} 的圆，其中 ∠AOX\angle AOX 用弧度在 [0,2π)\left[0,2\pi\right) 中表示。证明存在一个不在 OAOA 上的点 XX，使得 XX 的颜色也出现在圆 C(X)C(X) 的圆周上。
第 4/6 步：使用第一个重复颜色
上一步下一步
通俗地说

源点上重复出现的颜色会被排除在对应目标圆之外，否则定理立刻成立。

x1,jk all have color c1 ⟹ c1 is absent from C1+jkx_{1,j_k}\text{ all have color }c_1\ \Longrightarrow\ c_1\text{ is absent from }\mathcal C_{1+j_k}
详细分析

反设所求点不存在。第一行只有有限种颜色，因此某种颜色 c1c_1 出现在无穷多个 x1,jkx_{1,j_k} 中。若 C1+jk\mathcal C_{1+j_k} 上出现 c1c_1，该点本身就是所求点；所以这些圆上都禁止颜色 c1c_1。