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国际数学奥林匹克
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1984年
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第6题
第6题
设 a,b,c,d 为奇整数，满足
0
<
a
<
b
<
c
<
d
0<a<b<c<d
0
<
a
<
b
<
c
<
d
且
a
d
=
b
c
ad=bc
a
d
=
b
c
。证明若
a
+
d
=
2
k
a+d=2^k
a
+
d
=
2
k
、
b
+
c
=
2
m
b+c=2^m
b
+
c
=
2
m
，则
a
=
1
a=1
a
=
1
。
第 6/6 步：第6步
上一步
下一步
2
k
a
=
2
2
m
−
2
⟹
a
=
1
2^ka=2^{2m-2}\Longrightarrow a=1
2
k
a
=
2
2
m
−
2
⟹
a
=
1
详细分析
代入
b
c
=
a
d
bc=ad
b
c
=
a
d
并化简得
2
k
a
=
2
2
m
−
2
2^ka=2^{2m-2}
2
k
a
=
2
2
m
−
2
。由于
a
a
a
为奇数，该等式只能在
a
=
1
a=1
a
=
1
时成立。
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