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第1题

一个圆的圆心在圆内接四边形 ABCDABCD 的边 ABAB 上，其余三边都与该圆相切。证明 AD+BC=ABAD + BC = AB。
第 3/4 步：利用圆内接四边形的角关系匹配两个直角三角形
上一步下一步
通俗地说

两个直角三角形若拥有相同的直角边和相同的锐角，其形状与大小必然完全一致——就像两把完全相同的三角尺，只是其中一把被旋转过而已。

△OLX≅△OMC ⟹ LX=MC\triangle OLX \cong \triangle OMC \ \Longrightarrow\ LX = MC
详细分析

△OLX\triangle OLX 与 △OMC\triangle OMC 都在 LL、MM 处为直角（半径与切线以 90∘90^\circ 垂直），且直角边 OL=OMOL=OM（均为半径）相等。由于 AX=AOAX=AO，三角形 OAXOAX 是等腰三角形，从而 ∠OXL=90∘−∠A2=180∘−∠A2\angle OXL = 90^\circ-\tfrac{\angle A}{2}=\tfrac{180^\circ-\angle A}{2}；又因为 ABCDABCD 是圆内接四边形，有 ∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ，于是上式等于 ∠C2\tfrac{\angle C}{2}。另一方面，因为 CM,CNCM,CN 是从 CC 出发的两条切线，所以 OCOC 平分 ∠C\angle C，即 ∠OCM=∠C2\angle OCM=\tfrac{\angle C}{2}。对应角与对应边都相等，故 △OLX≅△OMC\triangle OLX\cong\triangle OMC，从而 LX=MCLX=MC。