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国际数学奥林匹克 · 1985年

试题

  1. 第1题一个圆的圆心在圆内接四边形 ABCDABCD 的边 ABAB 上，其余三边都与该圆相切。证明 AD+BC=ABAD + BC = AB。解法: 1
  2. 第2题设 nn 与 kk 是互质的正整数，且 k<nk < n。将集合 M={1,2,…,n−1}M = \{1, 2, \ldots, n-1\} 中每个数染成蓝色或白色，满足：(i) 对每个 i∈Mi \in M，ii 与 n−in-i 同色；(ii) 对每个满足 i≠ki \ne k 的 i∈Mi \in M，ii 与 ∣i−k∣|i-k| 同色。证明 MM 中所有的数都同色。解法: 1
  3. 第3题对于整数系数多项式 P(x)=a0+a1x+⋯+akxkP(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k，记 w(P)w(P) 为奇数系数的个数。令 Qi(x)=(1+x)iQ_i(x)=(1+x)^i（i=0,1,2,…i=0,1,2,\ldots）。证明：若 0≤i1<i2<⋯<in0\le i_1<i_2<\cdots<i_n，则 w(Qi1+Qi2+⋯+Qin)≥w(Qi1)w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1})。解法: 1
  4. 第4题给定一个由 19851985 个互不相同的正整数组成的集合 MM，其中没有一个数含有大于 2323 的素因子。证明 MM 中存在四个互不相同的元素，它们的乘积是某个整数的四次方。解法: 1
  5. 第5题一个圆心为 OO 的圆经过三角形 ABCABC 的顶点 AA、CC，并分别再次交线段 ABAB、BCBC 于不同的点 KK、NN。三角形 ABCABC 与 KBNKBN 的外接圆恰好交于两个不同点 BB、MM。证明 ∠OMB\angle OMB 是直角。解法: 1
  6. 第6题对每个实数 x1x_1，定义数列 xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right)。证明：恰有一个 x1x_1 使得对所有 nn 都有 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1。解法: 1