第2题

设

n

与

k

是互质的正整数，且

k < n

。将集合

M = \{1, 2, \ldots, n-1\}

中每个数染成蓝色或白色，满足：(i) 对每个

i \in M

，

i

与

n-i

同色；(ii) 对每个满足

i \ne k

的

i \in M

，

i

与

|i-k|

同色。证明

M

中所有的数都同色。

第 5/5 步：把等式串联到整个循环

上一步下一步

通俗地说

一旦循环上每一对相邻的数都被迫同色，整个循环就会坍缩成单一颜色——就像一排多米诺骨牌依次倒下，最后全都朝着同一个方向躺下。

\text{color}(r_1)=\text{color}(r_2)=\cdots=\text{color}(r_{n-1})

详细分析

第 3–4 步表明，对每个 $i=1,\dots,n-2$ 都有 $\text{color}(r_i)=\text{color}(r_{i+1})$ 。把这 $n-2$ 个等式串联起来，得知 $r_1,\dots,r_{n-1}$ 全部同色。由第 1 步，这些恰好是 $M$ 的每个元素各出现一次，因此 $M$ 中所有数都同色。