第4题

给定一个由

1985

个互不相同的正整数组成的集合

M

，其中没有一个数含有大于

23

的素因子。证明

M

中存在四个互不相同的元素，它们的乘积是某个整数的四次方。

第 3/4 步：再次分类平方根

通俗地说

对平方根进行同样的压缩。平方根多于奇偶盒子，因此必有两个具有相同模式。

s_j=t_j^2,\qquad t_j\mapsto(\text{prime exponents of }t_j)\pmod2

详细分析

对每个平方积数对写 $x_jy_j=s_j^2$ 。按平方根 $s_j$ 的素因子指数奇偶向量分类。类别仍只有 $2^9$ 个，而平方根有 $2^9+1$ 个，因此有两个（设为 $s_p,s_q$ ）同类。于是 $s_ps_q$ 是平方数，记为 $u^2$ 。