MathLabs

第5题

一个圆心为 OO 的圆经过三角形 ABCABC 的顶点 AA、CC，并分别再次交线段 ABAB、BCBC 于不同的点 KK、NN。三角形 ABCABC 与 KBNKBN 的外接圆恰好交于两个不同点 BB、MM。证明 ∠OMB\angle OMB 是直角。
第 2/4 步：通过追角得到第二个圆内接四边形
上一步下一步
通俗地说

最初的三个圆产生了一个新的四点圆：角相等正是第四个点加入同一圆的信号。

X,M,N,C are concyclicX,M,N,C\text{ are concyclic}
详细分析

由于 A,C,K,NA,C,K,N 在已知圆上，而 B,K,M,NB,K,M,N 在第二个外接圆上，比较 MM、CC 处的角。根据共线点的排列，有向角追踪给出 ∠XMN=180∘−∠XCN\angle XMN=180^\circ-\angle XCN（另一种排列得到等价的补角形式）。因此 X,M,N,CX,M,N,C 共圆。