第5题

一个圆心为

O

的圆经过三角形

ABC

的顶点

A

、

C

，并分别再次交线段

AB

、

BC

于不同的点

K

、

N

。三角形

ABC

与

KBN

的外接圆恰好交于两个不同点

B

、

M

。证明

\angle OMB

是直角。

第 3/4 步：写出两个点幂等式

上一步下一步

通俗地说

点幂把几何关系变成两个距离的乘积。两个乘积都来自同一个根心构型，因此可以比较。

XM\cdot XB=XO^2-ON^2,\qquad BM\cdot BX=BO^2-ON^2

详细分析

由于 $X,M,N,C$ 共圆，交弦（割线）定理给出 $XM\cdot XB=XK\cdot XN$ 。右边是 $X$ 关于圆心为 $O$ 的圆的点幂，等于 $XO^2-ON^2$ 。同理，对过 $B,K,N,M$ 的圆使用 $B$ 的点幂，得 $BM\cdot BX=BN\cdot BC=BO^2-ON^2$ 。