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第5题

一个圆心为 OO 的圆经过三角形 ABCABC 的顶点 AA、CC，并分别再次交线段 ABAB、BCBC 于不同的点 KK、NN。三角形 ABCABC 与 KBNKBN 的外接圆恰好交于两个不同点 BB、MM。证明 ∠OMB\angle OMB 是直角。
第 4/4 步：相减并识别垂直关系
上一步下一步
通俗地说

最后的距离等式其实是隐藏的勾股关系：展开从 MM 出发的距离平方后，交叉项为零，这意味着两个方向垂直。

XM2−BM2=XO2−BO2XM^2-BM^2=XO^2-BO^2
详细分析

将第 3 步的两个等式相减：XM⋅XB−BM⋅BX=XO2−BO2XM\cdot XB-BM\cdot BX=XO^2-BO^2。由于 X,M,BX,M,B 共线，左边为 XB(XM−BM)=XM2−BM2XB(XM-BM)=XM^2-BM^2。于是 XO2−XM2=BO2−BM2XO^2-XM^2=BO^2-BM^2。以 MM 为原点用向量表示，该等式等价于 MO⃗⋅MB⃗=0\vec{MO}\cdot\vec{MB}=0；展开为 ∣MO⃗+MX⃗∣2−∣MX⃗∣2=∣MB⃗+MX⃗∣2−∣MX⃗∣2|\vec{MO}+\vec{MX}|^2-|\vec{MX}|^2=|\vec{MB}+\vec{MX}|^2-|\vec{MX}|^2，因此 OM⊥BMOM\perp BM，即 ∠OMB=90∘\angle OMB=90^\circ。