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第6题

对每个实数 x1x_1，定义数列 xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right)。证明：恰有一个 x1x_1 使得对所有 nn 都有 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1。
第 1/5 步：把递推写成迭代映射
上一步下一步
通俗地说

与其逐步追踪一个初值，不如把前 nn 次更新打包成一条递增曲线 SnS_n。

S0(t)=t,Sn(t)=Sn−1(t)(Sn−1(t)+1n)S_0(t)=t,\qquad S_n(t)=S_{n-1}(t)\left(S_{n-1}(t)+\frac1n\right)
详细分析

令 S0(t)=tS_0(t)=t，递归定义 Sn(t)=Sn−1(t)(Sn−1(t)+1/n)S_n(t)=S_{n-1}(t)(S_{n-1}(t)+1/n)。于是 xn+1=Sn(x1)x_{n+1}=S_n(x_1)。每个 SnS_n 都是系数非负的多项式，因此在 [0,1][0,1] 上连续且严格递增；并且 Sn(0)=0S_n(0)=0、Sn(1)>1S_n(1)>1。