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第6题

对每个实数 x1x_1，定义数列 xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right)。证明：恰有一个 x1x_1 使得对所有 nn 都有 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1。
第 2/5 步：把初值夹在区间中
上一步下一步
通俗地说

每个区间由经过 nn 次更新后落在变化下界与上限 11 之间的初值组成；区间从两侧逐渐收紧。

Sn(an)=1−1n,Sn(bn)=1,an<bnS_n(a_n)=1-\frac1n,\qquad S_n(b_n)=1,\qquad a_n<b_n
第一个非平凡不动点步骤中使用的映射 u↦u(u+1/2)u\mapsto u(u+1/2)。
二次映射 $y=u^2+u/2$ 的图像。
详细分析

由连续性与严格递增性，存在唯一的 an,bn∈(0,1)a_n,b_n\in(0,1) 使 Sn(an)=1−1/nS_n(a_n)=1-1/n、Sn(bn)=1S_n(b_n)=1。映射 u↦u(u+1/n)u\mapsto u(u+1/n) 固定 u=1−1/nu=1-1/n，所以由第一个等式还得 Sn−1(an)=1−1/nS_{n-1}(a_n)=1-1/n。在这些边界点比较递推，得到 an<an+1a_n<a_{n+1} 与 bn>bn+1b_n>b_{n+1}，因此闭区间 [an,bn][a_n,b_n] 嵌套。