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第6题

对每个实数 x1x_1，定义数列 xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right)。证明：恰有一个 x1x_1 使得对所有 nn 都有 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1。
第 3/5 步：选取公共点并验证界
上一步下一步
通俗地说

选定的初值穿过每一道逐渐收紧的门：第 nn 次更新后仍低于 11，却已非常接近 11。

x1∈⋂n≥1[an,bn]⟹1−1n<xn<1x_1\in\bigcap_{n\ge1}[a_n,b_n]\quad\Longrightarrow\quad 1-\frac1n<x_n<1
详细分析

嵌套区间的交非空，取其中的 x1x_1。由于端点序列严格变化，x1x_1 不可能等于任何 ana_n 或 bnb_n，故对所有 nn 有 an<x1<bna_n<x_1<b_n。因此 xn+1=Sn(x1)x_{n+1}=S_n(x_1) 位于 1−1/n1-1/n 与 11 之间。同时 n≥1n\ge1 时 xn=Sn−1(x1)>Sn−1(an)=1−1/nx_n=S_{n-1}(x_1)>S_{n-1}(a_n)=1-1/n（n=1n=1 作显然解释）。