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第6题

对每个实数 x1x_1，定义数列 xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right)。证明：恰有一个 x1x_1 使得对所有 nn 都有 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1。
第 4/5 步：得到严格递增
上一步下一步
通俗地说

超过固定阈值后，下一个乘数大于 11，所以正值逐步增长；上界之门又阻止它越过 11。

xn+1−xn=xn(xn+1n−1)>0x_{n+1}-x_n=x_n\left(x_n+\frac1n-1\right)>0
详细分析

由第 3 步，xn>1−1/nx_n>1-1/n 且 xn>0x_n>0。所以 xn+1/n>1x_n+1/n>1，递推式给出 xn+1=xn(xn+1/n)>xnx_{n+1}=x_n(x_n+1/n)>x_n。第 3 步还给出 xn+1<1x_{n+1}<1，故对所有 nn 有 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1。