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第6题

对每个实数 x1x_1，定义数列 xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right)。证明：恰有一个 x1x_1 使得对所有 nn 都有 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1。
第 5/5 步：由区间收缩证明唯一性
上一步下一步
通俗地说

两个候选初值都必须落入每个区间，但区间最终比任何正距离都窄；因此只能剩下一个初值。

bn−an≤bnn<1n⟶0b_n-a_n\le\frac{b_n}{n}<\frac1n\longrightarrow0
详细分析

任何有效的 x1x_1 都必须对所有 nn 满足 an<x1<bna_n<x_1<b_n，因为 xn+1=Sn(x1)x_{n+1}=S_n(x_1) 位于 1−1/n1-1/n 与 11 之间。为证至多一个这样的点，注意 SnS_n 系数非负，故在 [0,bn][0,b_n] 上凸。因 Sn(0)=0S_n(0)=0、Sn(bn)=1S_n(b_n)=1，凸性给出 Sn(x)≤x/bnS_n(x)\le x/b_n。取 x=anx=a_n 得 1−1/n≤an/bn1-1/n\le a_n/b_n，于是 bn−an≤bn/n<1/n→0b_n-a_n\le b_n/n<1/n\to0。公共交集因此恰含一个点。