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第2题

在三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 所在平面内给定一点 P0P_0，对所有 s≥4s\ge4 定义 As=As−3A_s=A_{s-3}。构造点列 P1,P2,…P_1,P_2,\ldots，使 Pk+1P_{k+1} 是 PkP_k 绕 Ak+1A_{k+1} 顺时针旋转 120∘120^\circ 的像。证明：若 P1986=P0P_{1986}=P_0，则三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 为等边三角形。
第 1/5 步：归一化并表示旋转
上一步下一步
通俗地说

平面的相似变换允许把前两个旋转中心置于 00 与 11；顺时针 120∘120^\circ 旋转就是乘以单位复数 ω\omega。

A1=0,A2=1,A3=a,ω=e4iπ/3A_1=0,\quad A_2=1,\quad A_3=a,\quad \omega=e^{4i\pi/3}
单位圆上表示顺时针 120∘120^\circ 的乘数 ω=e4iπ/3\omega=e^{4i\pi/3}。
单位圆显示角度 $240^\circ$ 的点，它是顺时针 $120^\circ$ 旋转的乘数。
详细分析

令 A1=0A_1=0、A2=1A_2=1、A3=aA_3=a，并取 ω=e4iπ/3\omega=e^{4i\pi/3}。中心为 cc 的旋转把 PP 映到 ω(P−c)+c\omega(P-c)+c。