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第2题

在三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 所在平面内给定一点 P0P_0，对所有 s≥4s\ge4 定义 As=As−3A_s=A_{s-3}。构造点列 P1,P2,…P_1,P_2,\ldots，使 Pk+1P_{k+1} 是 PkP_k 绕 Ak+1A_{k+1} 顺时针旋转 120∘120^\circ 的像。证明：若 P1986=P0P_{1986}=P_0，则三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 为等边三角形。
第 2/5 步：合成一组三次旋转
上一步下一步
通俗地说

三个旋转中心每三步重复一次，因此一组三次旋转决定整个长序列。

P⟼ω(ω(ωP−1)+1−a)+aP\longmapsto\omega\bigl(\omega(\omega P-1)+1-a\bigr)+a
详细分析

依次施加中心为 00、11、aa 的旋转，得到 P↦ω(ω(ωP−1)+1−a)+aP\mapsto\omega(\omega(\omega P-1)+1-a)+a。由于 ω3=1\omega^3=1，它化为 P↦P−i3−aω+aP\mapsto P-i\sqrt3-a\omega+a（其中 ω=e4iπ/3\omega=e^{4i\pi/3}）。