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第2题

在三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 所在平面内给定一点 P0P_0，对所有 s≥4s\ge4 定义 As=As−3A_s=A_{s-3}。构造点列 P1,P2,…P_1,P_2,\ldots，使 Pk+1P_{k+1} 是 PkP_k 绕 Ak+1A_{k+1} 顺时针旋转 120∘120^\circ 的像。证明：若 P1986=P0P_{1986}=P_0，则三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 为等边三角形。
第 4/5 步：求出第三个顶点
上一步下一步
通俗地说

平移为零的条件精确确定了 A3A_3 相对于 A1A2A_1A_2 的位置。

a=i31−e4iπ/3=12+i32a=\frac{i\sqrt3}{1-e^{4i\pi/3}}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}
详细分析

整理得 a(1−ω)=i3a(1-\omega)=i\sqrt3。代入 ω=e4iπ/3\omega=e^{4i\pi/3}，得到 a=i31−e4iπ/3=12+i32a=\frac{i\sqrt3}{1-e^{4i\pi/3}}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}。