第3题

在正五边形的每个顶点赋予一个整数，使五个数的总和为正。若三个连续顶点上的数为

x,y,z

且

y<0

，就依次替换为

x+y,-y,z+y

。只要仍有负数就重复操作。问此过程是否必定在有限步后结束？

第 2/4 步：定义非负整数势函数

通俗地说

该势函数测量相隔两个位置的顶点差的平方和。它总是非负整数，因而不可能无限下降。

f(x_1,\ldots,x_5)=\sum_{i=1}^5(x_i-x_{i+2})^2,\quad x_6=x_1,\ x_7=x_2

详细分析

用循环下标定义 $f(x_1,\ldots,x_5)=\sum_{i=1}^5(x_i-x_{i+2})^2$ 。显然 $f\ge0$ 且取整数值，因此 $f$ 是非负整数。