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第3题

在正五边形的每个顶点赋予一个整数,使五个数的总和为正。若三个连续顶点上的数为 x,y,zx,y,z 且 y<0y<0,就依次替换为 x+y,−y,z+yx+y,-y,z+y。只要仍有负数就重复操作。问此过程是否必定在有限步后结束?
第 3/4 步:计算一次操作的变化
通俗地说

只有局部三个数改变,但按循环展开后大部分项抵消,只剩总和的一个简单倍数。

(x3,x4,x5)↦(x3+x4,−x4,x5+x4)(x_3,x_4,x_5)\mapsto(x_3+x_4,-x_4,x_5+x_4)
详细分析

设中间的负数为 x4<0x_4<0,则操作为 (x3,x4,x5)↦(x3+x4,−x4,x5+x4)(x_3,x_4,x_5)\mapsto(x_3+x_4,-x_4,x_5+x_4)。展开十个平方并抵消,得到 fnew−fold=2Sx4f_{\rm new}-f_{\rm old}=2Sx_4。