第4题

设

A,B

是中心为

O

的正

n

边形（

n\ge5

）的相邻顶点。三角形

XYZ

与

OAB

全等且初始时重合，运动时

Y

与

Z

各自走遍多边形的整个边界，而

X

始终在多边形内部。求

X

的轨迹。

第 5/5 步：利用

n

重旋转对称性

上一步下一步

通俗地说

每个边到边的阶段都可由第一个阶段绕 $O$ 旋转 $2\pi/n$ 得到。

\mathcal L=\bigcup_{j=0}^{n-1}R_{2\pi j/n}(\overline{OV})

详细分析

当 $Y,Z$ 走遍全部 $n$ 条边时，由旋转对称性得到 $n$ 条互不相同且全等的线段；每条经过 $O$ 并位于 $O$ 与某顶点的连线上（只取多边形内部的一侧）。所以轨迹是由 $n$ 条经过 $O$ 的线段组成的星形。