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第5题

求所有把非负实数映射到非负实数的全射函数 ff，满足对所有非负实数 x,yx,y 有 f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y)，且 f(2)=0f(2)=0，以及对每个 0≤x<20\le x<2 都有 f(x)≠0f(x)\ne0。
第 2/5 步：得到小于 2 时的下界
上一步下一步
通俗地说

当 y<2y<2 时，非零条件排除了因子 f(y)f(y)，因此另一个因子的自变量必须落入函数为零的区域。

f((2−y)f(y))f(y)=f(2)=0⟹(2−y)f(y)≥2f((2-y)f(y))f(y)=f(2)=0\Longrightarrow(2-y)f(y)\ge2
详细分析

对 0≤y<20\le y<2 令 x=2−yx=2-y。则 f((2−y)f(y))f(y)=f(2)=0f((2-y)f(y))f(y)=f(2)=0。由于 f(y)≠0f(y)\ne0，故 f((2−y)f(y))=0f((2-y)f(y))=0，于是 (2−y)f(y)≥2(2-y)f(y)\ge2，即 f(y)≥22−yf(y)\ge\frac{2}{2-y}。