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第5题

求所有把非负实数映射到非负实数的全射函数 ff,满足对所有非负实数 x,yx,y 有 f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y),且 f(2)=0f(2)=0,以及对每个 0≤x<20\le x<2 都有 f(x)≠0f(x)\ne0。
第 3/5 步:排除严格大于下界的可能
通俗地说

若某个函数值过大,可选取附近的自变量使 ff 内部的乘积恰为 22,从而迫使 22 以下出现禁忌的零值。

f(a)>22−a⟹f(2−ε)=0f(a)>\frac{2}{2-a}\Longrightarrow f(2-\varepsilon)=0
详细分析

假设某个 a<2a<2 满足 f(a)>22−af(a)>\frac{2}{2-a},取 ε>0\varepsilon>0 使 f(a)=22−a−εf(a)=\frac{2}{2-a-\varepsilon}。在方程中令 y=ay=a 与 x=2−a−εx=2-a-\varepsilon,左边为 f(2)f(a)=0f(2)f(a)=0,右边为 f(2−ε)≠0f(2-\varepsilon)\ne0(因 2−ε<22-\varepsilon<2),矛盾。