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第5题

求所有把非负实数映射到非负实数的全射函数 ff，满足对所有非负实数 x,yx,y 有 f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y)，且 f(2)=0f(2)=0，以及对每个 0≤x<20\le x<2 都有 f(x)≠0f(x)\ne0。
第 2/4 步：得到下界
上一步下一步
通俗地说

函数零区域的刻画把乘积为零转化为自变量的不等式。

f(xf(2−x))f(2−x)=f(2)=0⟹f(x)≥22−xf(xf(2-x))f(2-x)=f(2)=0\Longrightarrow f(x)\ge\frac{2}{2-x}
详细分析

对 0≤x<20\le x<2 令 y=2−xy=2-x。由于 f(2−x)≠0f(2-x)\ne0，方程给出 f(xf(2−x))=0f(xf(2-x))=0，故 xf(2−x)≥2xf(2-x)\ge2。把 2−x2-x 改记为 yy，得 f(y)≥22−yf(y)\ge\frac{2}{2-y}。