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第5题

求所有把非负实数映射到非负实数的全射函数 ff，满足对所有非负实数 x,yx,y 有 f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y)，且 f(2)=0f(2)=0，以及对每个 0≤x<20\le x<2 都有 f(x)≠0f(x)\ne0。
第 3/4 步：得到上界
上一步下一步
通俗地说

选择 xx 使 xf(y)=2xf(y)=2；这样左边就包含已知零值 f(2)f(2)。

x=2f(y)⟹f(y+2f(y))=0⟹f(y)≤22−yx=\frac{2}{f(y)}\Longrightarrow f\left(y+\frac{2}{f(y)}\right)=0\Longrightarrow f(y)\le\frac{2}{2-y}
详细分析

对 0≤y<20\le y<2 有 f(y)>0f(y)>0，令 x=2/f(y)x=2/f(y)。于是 f(y+2/f(y))=f(2)f(y)=0f(y+2/f(y))=f(2)f(y)=0，迫使 y+2/f(y)≥2y+2/f(y)\ge2。整理得 f(y)≤22−yf(y)\le\frac{2}{2-y}。