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第5题

求所有把非负实数映射到非负实数的全射函数 ff,满足对所有非负实数 x,yx,y 有 f(xf(y))f(y)=f(x+y)f(xf(y))f(y)=f(x+y),且 f(2)=0f(2)=0,以及对每个 0≤x<20\le x<2 都有 f(x)≠0f(x)\ne0。
第 4/4 步:夹逼并验证
通俗地说

上下界相等,只剩下唯一候选;代入即可验证。

f(y)=22−y (0≤y<2),f(y)=0 (y≥2)f(y)=\frac{2}{2-y}\ (0\le y<2),\qquad f(y)=0\ (y\ge2)
详细分析

两条界迫使 f(y)=22−yf(y)=\frac{2}{2-y} 在 [0,2)[0,2) 上成立。结合零尾部,唯一函数为 y<2y<2 时 f(y)=22−yf(y)=\frac{2}{2-y},y≥2y\ge2 时 f(y)=0f(y)=0。分别在 x+y<2x+y<2 与 x+y≥2x+y\ge2 情况下直接代入验证。