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国际数学奥林匹克 · 1987年

试题

  1. 第1题设 pn(k)p_n(k) 为集合 {1,…,n}\{1, \ldots, n\}（n≥1n \ge 1）中恰有 kk 个不动点的排列数。证明 ∑k=0nk⋅pn(k)=n!\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = n!。（集合 SS 的排列 ff 是从 SS 到自身的一一映射；若 SS 中的元素 ii 满足 f(i)=if(i) = i，则称 i 是 ff 的不动点。）解法: 2
  2. 第2题在锐角三角形 ABCABC 中,角 AA 的内角平分线与 BCBC 交于点 LL,并与三角形 ABCABC 的外接圆再次相交于点 NN。从点 LL 分别向 ABAB、ACAC 作垂线,垂足依次为 KK、MM。证明四边形 AKNMAKNM 与三角形 ABCABC 的面积相等。解法: 1
  3. 第3题设 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 为实数,满足 x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1。证明:对每个整数 k≥2k \ge 2,都存在不全为 00 的整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n,使得对所有 ii 都有 ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1,且 ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1}。解法: 1
  4. 第4题证明:不存在从非负整数集到其自身的函数 ff,使得对每个非负整数 nn 都有 f(f(n))=n+1987f(f(n)) = n + 1987。解法: 2
  5. 第5题设 nn 是大于或等于 33 的整数。证明:平面上存在一个含 nn 个点的集合,使任意两点间的距离都是无理数,且任意三点确定一个面积为有理数的非退化三角形。解法: 1
  6. 第6题设 n 是至少为 2 的整数。若对所有整数 k 满足 0≤k≤n/30\le k\le\sqrt{n/3}，k2+k+nk^2+k+n 都是素数，则对所有 0≤k≤n−20\le k\le n-2 也都是素数。解法: 1