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第2题

在锐角三角形 ABCABC 中,角 AA 的内角平分线与 BCBC 交于点 LL,并与三角形 ABCABC 的外接圆再次相交于点 NN。从点 LL 分别向 ABAB、ACAC 作垂线,垂足依次为 KK、MM。证明四边形 AKNMAKNM 与三角形 ABCABC 的面积相等。
第 2/5 步：借助相似三角形得到经典的角平分线—弦恒等式
上一步下一步
通俗地说

这是关于“角平分线幂”的标准引理:把角平分线延长到圆上,它切出的两个三角形总是彼此相似。

AL⋅AN=AB⋅ACAL \cdot AN = AB \cdot AC
详细分析

由于 A,L,NA,L,N 共线,三角形 ABLABL 与 ANCANC 在 AA 处共用角 ∠BAL=∠NAC=A/2\angle BAL=\angle NAC=A/2;又因 ∠ABC\angle ABC 与 ∠ANC\angle ANC 对着外接圆的同一段弧 ACAC,故 ∠ABL=∠ABC=∠ANC\angle ABL=\angle ABC=\angle ANC。于是 △ABL∼△ANC\triangle ABL \sim \triangle ANC,从而 AB/AN=AL/ACAB/AN = AL/AC,即 AL⋅AN=AB⋅ACAL\cdot AN = AB\cdot AC。