MathLabs

第2题

在锐角三角形 ABCABC 中,角 AA 的内角平分线与 BCBC 交于点 LL,并与三角形 ABCABC 的外接圆再次相交于点 NN。从点 LL 分别向 ABAB、ACAC 作垂线,垂足依次为 KK、MM。证明四边形 AKNMAKNM 与三角形 ABCABC 的面积相等。
第 3/5 步：计算风筝形的对角线 KM
上一步下一步
通俗地说

风筝形的短对角线 KMKM 是直角三角形 AKLAKL 到其斜边 ALAL 的高的两倍——借助二倍角公式,这个量恰好化简为 ALsin⁡AAL\sin A。

KM=2⋅AK⋅KLAL=2⋅ALcos⁡A2sin⁡A2=ALsin⁡AKM = 2\cdot\frac{AK\cdot KL}{AL} = 2\cdot AL\cos\frac{A}{2}\sin\frac{A}{2} = AL\sin A
详细分析

设 QQ 为对角线 ALAL 与 KMKM 的交点。由于 AKLMAKLM 是风筝形,QQ 正是直角三角形 AKLAKL 中从 KK(也是从 MM)向斜边 ALAL 所作垂线的垂足,由斜边上的高的关系,KQKQ(KMKM 的一半)等于 (AK⋅KL)/AL(AK\cdot KL)/AL。代入第1步的 AK=ALcos⁡(A/2)AK=AL\cos(A/2)、KL=ALsin⁡(A/2)KL=AL\sin(A/2),得 KM=2ALsin⁡(A/2)cos⁡(A/2)=ALsin⁡AKM = 2AL\sin(A/2)\cos(A/2) = AL\sin A。