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第2题

在锐角三角形 ABCABC 中,角 AA 的内角平分线与 BCBC 交于点 LL,并与三角形 ABCABC 的外接圆再次相交于点 NN。从点 LL 分别向 ABAB、ACAC 作垂线,垂足依次为 KK、MM。证明四边形 AKNMAKNM 与三角形 ABCABC 的面积相等。
第 4/5 步：AN 与 KM 是 AKNM 的两条垂直对角线
上一步下一步
通俗地说

AKNMAKNM 本质上与 AKLMAKLM 是同一个风筝形,只是把长对角线从 LL 延伸到了 NN——沿原直线延伸风筝形的一条对角线,并不影响面积公式 12d1d2\tfrac12 d_1 d_2 的有效性。

[AKNM]=12⋅AN⋅KM[AKNM] = \frac{1}{2}\cdot AN \cdot KM
详细分析

由于 AA、LL、NN 位于同一条直线上(即延长到圆上的角平分线),线段 ANAN 与 ALAL 在同一直线上,故既有 KM⊥ALKM\perp AL,也有 KM⊥ANKM\perp AN。因此 ANAN 与 KMKM 是四边形 AKNMAKNM 的两条对角线,且二者垂直,其面积等于对角线之积的一半:[AKNM]=12AN⋅KM[AKNM]=\tfrac12 AN\cdot KM。