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第2题

在锐角三角形 ABCABC 中,角 AA 的内角平分线与 BCBC 交于点 LL,并与三角形 ABCABC 的外接圆再次相交于点 NN。从点 LL 分别向 ABAB、ACAC 作垂线,垂足依次为 KK、MM。证明四边形 AKNMAKNM 与三角形 ABCABC 的面积相等。
第 5/5 步：代入并识别出这就是 ABC 的面积
上一步下一步
通俗地说

辅助长度 ALAL 完全消去,恰好剩下 [ABC][ABC] 本身那个熟悉的公式 12⋅(side)⋅(side)⋅sin⁡(included angle)\tfrac12\cdot(\text{side})\cdot(\text{side})\cdot\sin(\text{included angle})——两个面积原来只是同一表达式的不同伪装。

[AKNM]=12⋅AB⋅ACAL⋅ALsin⁡A=12AB⋅ACsin⁡A=[ABC][AKNM] = \frac{1}{2}\cdot\frac{AB\cdot AC}{AL}\cdot AL\sin A = \frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A = [ABC]
详细分析

把第2步的 AN=AB⋅AC/ALAN=AB\cdot AC/AL 与第3步的 KM=ALsin⁡AKM=AL\sin A 代入第4步的公式:[AKNM]=12⋅AB⋅ACAL⋅ALsin⁡A=12AB⋅ACsin⁡A[AKNM]=\tfrac12\cdot\frac{AB\cdot AC}{AL}\cdot AL\sin A=\tfrac12 AB\cdot AC\sin A。这最后的表达式正是三角形 △ABC\triangle ABC 按“两边夹角”计算面积的标准公式,故 [AKNM]=[ABC][AKNM]=[ABC],正是所要证明的。