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第3题

设 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 为实数,满足 x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1。证明:对每个整数 k≥2k \ge 2,都存在不全为 00 的整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n,使得对所有 ii 都有 ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1,且 ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1}。
第 1/6 步：归约为非负权重
上一步下一步
通俗地说

用 ∣xi∣|x_i| 代替 xix_i 消除了所有关于符号的麻烦;我们总可以在最后一步给 aia_i 补回正确的符号,而不改变 ∣aixi∣|a_ix_i|。

yi=∣xi∣≥0,y12+⋯+yn2=1y_i = |x_i| \ge 0, \qquad y_1^2+\cdots+y_n^2 = 1
详细分析

对每个 ii 设 yi=∣xi∣≥0y_i=|x_i|\ge0;于是 ∑yi2=∑xi2=1\sum y_i^2=\sum x_i^2=1 依然成立。只需找到不全为 0 的整数 d1,…,dnd_1,\ldots,d_n,满足 ∣di∣≤k−1|d_i|\le k-1 且 ∣∑diyi∣≤(k−1)nkn−1\left|\sum d_i y_i\right|\le \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}:一旦找到这样的 did_i,令 xi≥0x_i\ge0 时 ai=dia_i=d_i、xi<0x_i<0 时 ai=−dia_i=-d_i,便对每个 ii 都有 aixi=diyia_ix_i=d_iy_i,从而 ∑aixi=∑diyi\sum a_ix_i=\sum d_iy_i 具有相同的绝对值,且 ∣ai∣=∣di∣≤k−1|a_i|=|d_i|\le k-1。