第3题

设

x_1, x_2, \ldots, x_n

为实数,满足

x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1

。证明:对每个整数

k \ge 2

,都存在不全为

0

的整数

a_1, a_2, \ldots, a_n

,使得对所有

i

都有

|a_i| \le k - 1

,且

|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1}

。

第 2/6 步：列出全部 k^n 个整数加权和

通俗地说

与其直接猜出正确的整数,不如列出所有可能的“小”整数组合,看看它们的取值都落在哪里。

S(c) = \sum_{i=1}^{n} c_i y_i, \qquad c=(c_1,\ldots,c_n)\in\{0,1,\ldots,k-1\}^n

详细分析

考虑每个使各 $c_i$ 都是 $\{0,1,\ldots,k-1\}$ 中整数的元组 $c=(c_1,\ldots,c_n)$ ;这样的元组共有 $k^n$ 个( $n$ 个坐标各有 $k$ 种取法)。对每个这样的元组,定义实数 $S(c)=\sum_{i=1}^n c_iy_i$ 。