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第3题

设 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 为实数,满足 x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1。证明:对每个整数 k≥2k \ge 2,都存在不全为 00 的整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n,使得对所有 ii 都有 ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1,且 ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1}。
第 3/6 步：用柯西–施瓦茨界定每个 S(c)
上一步下一步
通俗地说

柯西–施瓦茨表明,一个加权和绝不会比其两个构成向量的大小之积大太多——这里的这个上限恰好就是 (k−1)n(k-1)\sqrt n。

0≤S(c)≤(k−1)nfor every c∈{0,…,k−1}n0 \le S(c) \le (k-1)\sqrt{n} \quad \text{for every } c \in \{0,\ldots,k-1\}^n
详细分析

由于 yi≥0y_i\ge0 且 ci≥0c_i\ge0,显然 S(c)≥0S(c)\ge0。由柯西–施瓦茨不等式,利用 ci≤k−1c_i\le k-1 及 ∑yi2=1\sum y_i^2=1,得 S(c)=∑ciyi≤∑ci2⋅∑yi2≤n(k−1)2⋅1=(k−1)nS(c)=\sum c_iy_i\le\sqrt{\sum c_i^2}\cdot\sqrt{\sum y_i^2}\le\sqrt{n(k-1)^2}\cdot1=(k-1)\sqrt n。因此全部 knk^n 个值 S(c)S(c) 都落在区间 [0,(k−1)n][0,(k-1)\sqrt n] 内。