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第3题

设 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 为实数,满足 x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1。证明:对每个整数 k≥2k \ge 2,都存在不全为 00 的整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n,使得对所有 ii 都有 ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1,且 ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1}。
第 4/6 步：抽屉原理:两个和落入同一子区间
上一步下一步
通俗地说

“鸽子”(knk^n 个和)比“鸽笼”(kn−1k^n-1 个箱子)多,这就迫使两个和被挤到彼此非常接近的位置。

Partition [0,(k−1)n] into kn−1 intervals of length (k−1)nkn−1\text{Partition } [0,(k-1)\sqrt n] \text{ into } k^n-1 \text{ intervals of length } \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}
详细分析

把区间 [0,(k−1)n][0,(k-1)\sqrt n] 划分成 kn−1k^n-1 个等长的连续子区间,每个长度为 (k−1)nkn−1\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}。共有 knk^n 个值 S(c)S(c)(第2步)但只有 kn−1k^n-1 个子区间来容纳它们,由抽屉原理,至少存在两个不同的元组 c≠c′c\ne c',使 S(c)S(c) 与 S(c′)S(c') 落在同一子区间内。