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第3题

设 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n 为实数,满足 x12+x22+⋯+xn2=1x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1。证明:对每个整数 k≥2k \ge 2,都存在不全为 00 的整数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n,使得对所有 ii 都有 ∣ai∣≤k−1|a_i| \le k - 1,且 ∣a1x1+a2x2+⋯+anxn∣≤(k−1)nkn−1|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1}。
第 5/6 步：取两个相撞元组的差
上一步下一步
通俗地说

把两个几乎相等的和相减,会抵消掉绝大部分,只留下一个真正微小的量——正是我们需要达到的界。

di=ci−ci′,d≠0,∣di∣≤k−1,∣S(c)−S(c′)∣=∣∑diyi∣≤(k−1)nkn−1d_i = c_i - c'_i, \qquad d \ne 0, \quad |d_i|\le k-1, \qquad |S(c)-S(c')| = \left|\sum d_i y_i\right| \le \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}
详细分析

令 di=ci−ci′d_i=c_i-c_i'。由于 c≠c′c\ne c',并非所有 did_i 都为 0;由于 ci,ci′∈{0,…,k−1}c_i,c_i'\in\{0,\ldots,k-1\},每个 ∣di∣≤k−1|d_i|\le k-1。因为 S(c)S(c) 与 S(c′)S(c') 落在长度为 (k−1)nkn−1\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1} 的同一子区间内,它们的差满足 ∣∑idiyi∣=∣S(c)−S(c′)∣≤(k−1)nkn−1\left|\sum_i d_iy_i\right|=|S(c)-S(c')|\le\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}。