第3题

设

x_1, x_2, \ldots, x_n

为实数,满足

x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1

。证明:对每个整数

k \ge 2

,都存在不全为

0

的整数

a_1, a_2, \ldots, a_n

,使得对所有

i

都有

|a_i| \le k - 1

,且

|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1}

。

第 6/6 步：恢复符号以完成证明

上一步下一步

通俗地说

把 $x_i$ 的符号重新赋给 $d_i$ ,从一开始就是为了让 $a_ix_i$ 恰好等于 $d_iy_i$ ,因此第5步中对 $y_i$ 证明的那个界原封不动地转移了过来。

a_i = \begin{cases} d_i, & x_i \ge 0 \\ -d_i, & x_i < 0 \end{cases} \implies \left|\sum_i a_ix_i\right| = \left|\sum_i d_iy_i\right| \le \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}

详细分析

若 $x_i\ge0$ 令 $a_i=d_i$ ,若 $x_i<0$ 令 $a_i=-d_i$ ;这样在任何情形都有 $a_ix_i=d_i|x_i|=d_iy_i$ ,于是 $\sum a_ix_i=\sum d_iy_i$ ,且对所有 $i$ 都有 $|a_i|=|d_i|\le k-1$ ,并非所有 $a_i$ 都为 0(因为并非所有 $d_i$ 都为 0)。结合第5步恰好得到 $\left|\sum a_ix_i\right|\le\frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}$ ,证明完成。