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第5题

设 nn 是大于或等于 33 的整数。证明:平面上存在一个含 nn 个点的集合,使任意两点间的距离都是无理数,且任意三点确定一个面积为有理数的非退化三角形。
第 2/5 步：分解两点间的距离
上一步下一步
通俗地说

平方差提出一个整数因子后,根号内留下的数恰好比一个平方数大一。

d=(x1−x2)2+(x12−x22)2=∣x1−x2∣1+(x1+x2)2d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1^2-x_2^2)^2}=|x_1-x_2|\sqrt{1+(x_1+x_2)^2}
详细分析

对于不同的两点 (x1,x12)(x_1,x_1^2) 与 (x2,x22)(x_2,x_2^2),由距离公式及 x12−x22=(x1−x2)(x1+x2)x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2) 得 d=(x1−x2)2+(x12−x22)2=∣x1−x2∣1+(x1+x2)2d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1^2-x_2^2)^2}=|x_1-x_2|\sqrt{1+(x_1+x_2)^2}。