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第5题

设 nn 是大于或等于 33 的整数。证明:平面上存在一个含 nn 个点的集合,使任意两点间的距离都是无理数,且任意三点确定一个面积为有理数的非退化三角形。
第 3/5 步：距离是无理数
上一步下一步
通俗地说

两个相邻整数平方之间没有另一个整数平方,所以在根号内加一就产生了所需的无理性。

(x1+x2)2<1+(x1+x2)2<(x1+x2+1)2(x_1+x_2)^2<1+(x_1+x_2)^2<(x_1+x_2+1)^2
详细分析

整数 1+(x1+x2)21+(x_1+x_2)^2 严格夹在相邻平方数 (x1+x2)2(x_1+x_2)^2 与 (x1+x2+1)2(x_1+x_2+1)^2 之间,所以不是完全平方数,其平方根是无理数。由于 ∣x1−x2∣|x_1-x_2| 是非零整数,乘上它仍为无理数;故任意两点间的距离都是无理数。