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第5题

设 nn 是大于或等于 33 的整数。证明:平面上存在一个含 nn 个点的集合,使任意两点间的距离都是无理数,且任意三点确定一个面积为有理数的非退化三角形。
第 4/5 步：所选三点不共线
上一步下一步
通俗地说

二次曲线弯曲得足够明显,一条直线不可能与它相交三次。

A line intersects y=x2 in at most two points\text{A line intersects }y=x^2\text{ in at most two points}
详细分析

直线可写为 y=mx+by=mx+b。与 y=x2y=x^2 联立得到二次方程 x2−mx−b=0x^2-mx-b=0,至多有两个实根。因此没有直线能包含 SS 中的三个点,任意三点都组成非退化三角形。