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国际数学奥林匹克
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1988年
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第1题
第1题
两个同心圆半径为
R
>
r
R>r
R
>
r
。P 固定在小圆上，B 在大圆上运动。BP 与大圆再交于 C；过 P 作 BP 的垂线与小圆再交于 A（若为切线则 A=P）。（i）求
A
B
2
+
B
C
2
+
C
A
2
AB^2+BC^2+CA^2
A
B
2
+
B
C
2
+
C
A
2
的取值集合；（ii）求 BC 中点的轨迹。
第 4/5 步：第4步
上一步
下一步
A
B
2
+
A
C
2
+
B
C
2
=
6
R
2
+
2
r
2
AB^2+AC^2+BC^2=6R^2+2r^2
A
B
2
+
A
C
2
+
B
C
2
=
6
R
2
+
2
r
2
详细分析
利用 BC=2BM、AB^2=AP^2+(BM−PM)^2 及 AC^2=AP^2+(BM+PM)^2，所求总和为 2AP^2+6BM^2+2PM^2=6R^2+2r^2。
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