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国际数学奥林匹克
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1988年
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第3题
第3题
函数
f
f
f
定义在正整数上，并满足
f
(
1
)
=
1
f(1)=1
f
(
1
)
=
1
、
f
(
3
)
=
3
f(3)=3
f
(
3
)
=
3
、
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
f(2n)=f(n)
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
。求满足
n
≤
1988
n\le1988
n
≤
1988
且
f
(
n
)
=
n
f(n)=n
f
(
n
)
=
n
的正整数个数。
第 2/6 步：第2步
上一步
下一步
n
=
(
1
b
r
b
r
−
1
⋯
b
1
1
)
2
⟹
f
(
n
)
=
(
1
b
1
b
2
⋯
b
r
1
)
2
n=(1b_rb_{r-1}\cdots b_1 1)_2\Longrightarrow f(n)=(1b_1b_2\cdots b_r1)_2
n
=
(
1
b
r
b
r
−
1
⋯
b
1
1
)
2
⟹
f
(
n
)
=
(
1
b
1
b
2
⋯
b
r
1
)
2
详细分析
对二进制长度归纳可得：若奇数 n 的数字为 (1b_r...b_1 1)_2，则 f(n) 的数字为 (1b_1...b_r1)_2。因此 f 恰好反转中间的数字块。
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