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国际数学奥林匹克
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1988年
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第3题
第3题
函数
f
f
f
定义在正整数上，并满足
f
(
1
)
=
1
f(1)=1
f
(
1
)
=
1
、
f
(
3
)
=
3
f(3)=3
f
(
3
)
=
3
、
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
f(2n)=f(n)
f
(
2
n
)
=
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)
f
(
4
n
+
1
)
=
2
f
(
2
n
+
1
)
−
f
(
n
)
、
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)
f
(
4
n
+
3
)
=
3
f
(
2
n
+
1
)
−
2
f
(
n
)
。求满足
n
≤
1988
n\le1988
n
≤
1988
且
f
(
n
)
=
n
f(n)=n
f
(
n
)
=
n
的正整数个数。
第 3/6 步：第3步
上一步
下一步
f
(
n
)
=
n
⟺
b
1
⋯
b
r
=
b
r
⋯
b
1
f(n)=n\Longleftrightarrow b_1\cdots b_r=b_r\cdots b_1
f
(
n
)
=
n
⟺
b
1
⋯
b
r
=
b
r
⋯
b
1
详细分析
固定点恰好是中间部分为回文的数。长度为
r
r
r
的二进制串有
2
⌈
r
/
2
⌉
2^{\lceil r/2\rceil}
2
⌈
r
/2
⌉
个回文串。
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